3．1．1数系的扩充和复数的概念教案

 

教学目标：

1.了解引进复数的必要性，了解数系的扩充过程。

2.体会实际需要与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用及数与现实世界的联系。

3.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件

教学重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念。

教学难点：学生对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，对理解复数是一对有序实数不习惯，故而对复数概念的理解有一定困难。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

 

教学基本流程：

一、问题引入：

1.原始社会的人知道1，2，3，4吗？知道-2， 吗？（让学生思考后发现以下：）

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N

随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾。

2. 2x=1有解吗？（学生很容易说有解，引导学生认识到是整数集中无解，分数集有解）

x²=3有解吗？（有理数集中无解，无理数集中有解）

x²=-1呢？（实数集中无解，那么类比一下在什么集中有解呢？）

二、讲解新课：

问题1.分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，但像x²=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.那怎么办？能否类比一下人们为解决x²=3在有理数集无解，而创设了符号 ，并令 的平方为3，且无理数 和以前的有理数仍然自如的加减乘除这一思想，来定义一个新的符号使其平方为-1呢？（停顿，让学生思考。。。）

人们引入了一个新数 ，让 的平方为-1。

板书：令    

 那么平方为-4的数是什么呢？（2 ），新数 很好的解决了平方为负数的方程解的问题。

问题2. 依上述思想新数 应能自如地和实数进行加、乘运算，

（1）实数a和新数 相加我们记作a+i，

（2）实数b和新数 相乘我们记作b

（3）实数a与实数b和新数 相乘的结果相加我们记作a+bi

  那么你发现上述三个结果是一个实数加另一实数倍的 的形式，即 吗？

问题3.由此我们不难发现数集范围得到了扩大，实数集被扩充到一个新数集C,那么新数集C如何描述呢？（引导学生思考、交流、确认）

给出结果：C=｛a+b ︳a, ∈R｝

引入概念：（1）C叫做复数集。

（2） 叫做虚数单位。

（3）复数z= 是复数z的代数形式，其中a叫做实部，b叫做虚部。

（4）虚部不为0叫做虚数，实部为0且虚部不为0的复数叫做纯虚数，虚部为0的复数是实数.

          

规定：两复数相等的充要条件是两复数的实部对应相等，虚部对应相等。

即如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di       a=c，b=d

思考：复数集C和实数集R之间有什么关系呢？

结果：（1）实数集R是复数集C的真子集。

     （2）复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C

三、例题讲解：

例题1：复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？（答：实部是3.14，虚部是－2.）

 

例题2：实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:

(1)实数？  (2)虚数？  (3)纯虚数？

［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，可由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.

解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；

(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z 是纯虚数.

 

例题3